柯西点列的定义

柯西点列（Cauchy sequence）是指一个数列，其元素随着序数的增加而愈发靠近，即对于任意给定的正数ε，都存在一个自然数N，使得当m, n > N时，数列中任意两项x_n与x_m之差的绝对值小于ε。在数学中，柯西列是一种重要的概念，经常用于描述数列的收敛性和度量空间的完备性。

具体来说，柯西列的定义可以表述为：

数列的收敛性：

一个数列{x_n}被称为柯西列，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当m, n > N时，有|x_n - x_m| < ε。

距离空间的完备性：

在度量空间中，如果一个点列是柯西列，那么该点列所在的度量空间是完备的。完备性意味着空间中的任意柯西列都收敛于该空间中的一个点，即该空间包含了所有的极限点。

需要注意的是，柯西列并不一定收敛，它只要求任意两点间的距离可以任意小，而不要求数列的极限存在。因此，柯西列是收敛数列的一个必要条件，但不是充分条件。

总结起来，柯西点列是一种特殊的数列，其元素随着序数的增加而逐渐靠近，并且满足任意给定正数ε时，存在一个足够大的N，使得数列中任意两项的距离都小于ε。这一概念在数学分析和度量空间理论中具有重要意义。