高中辅助角公式推导
高中辅助角公式推导
辅助角公式是三角函数中一个非常重要的公式，用于将形如 `Asinα + Bcosα` 的表达式化简为 `√（A^2 + B^2）sin（α + φ）` 的形式，其中 `tanφ = B/A`。以下是辅助角公式的推导过程：
引入复数指数形式
复数可以表示为 `e^（iθ） = cosθ + isinθ`，其中 `i` 是虚数单位，`θ` 是角度。
复数乘法
考虑两个复数的乘法：
`e^（iα） * e^（iβ） = e^（i（α + β））`
这可以展开为：
`e^（iα） * e^（iβ） = cosα * cosβ + isinα * sinβ + i（cosα * sinβ - sinα * cosβ）`
三角函数加法定理
利用三角函数的加法定理，我们可以将上式中的 `cosα * cosβ` 和 `sinα * sinβ` 分别表示为 `cos（α + β）` 和 `sin（α + β）` 的形式，而 `cosα * sinβ - sinα * cosβ` 可以表示为 `-sin（α - β）`。
化简
将上述结果代入，得到：
`e^（iα） * e^（iβ） = cosα * cosβ + i（cosα * sinβ - sinα * cosβ） = cos（α + β） - isin（α - β）`
比较实部和虚部
通过比较实部和虚部，我们可以得到：
`cos（α + β） = cosα * cosβ - sinα * sinβ`
`sin（α + β） = sinα * cosβ + cosα * sinβ`