高中通项公式

高中通项公式

高中数学中，通项公式是描述数列中第n项与n之间关系的数学表达式。以下是通项公式的求法：

普通数列的通项公式求法

观察法

如果已知数列的前几项，可以尝试根据这些项来猜测通项公式。

前n项和法

已知数列的前n项和$S_n$，则第n项$a_n = S_n - S_{n-1}$。

递推数列的通项公式求法

特征根法

对于形如$a_{n+1} = r \cdot a_n + d$的递推式，可以通过求解特征方程$r^n = \frac{a_n}{a_{n-1}}$来找到通项公式。

不动点法

对于形如$a_{n+1} = a_n + k$的递推式，不动点即为$a_n = -k$，从而可以找到通项公式。

通项公式的应用实例

例题1：已知$a_n = S_n - S_{n-1}$，且$S_1 = -1$，通过计算可得$a_n = -2n + 1$。

例题2：已知$a_{n+1} = a_n + n + 1$，通过累加法可以求得通项公式。

例题3：已知递推式$a_n = \frac{n-1}{n} \cdot a_{n-1}$，通过变形可以得到通项公式。

总结

通项公式的求法依赖于数列的具体形式，可能包括观察、前n项和计算、特征根法和不动点法等。掌握这些方法可以帮助解决涉及数列的问题。