柯西点列不收敛例子

柯西点列不收敛的例子可以从多个角度来构造，以下是一些具体的例子：

有理数集上的柯西列

考虑数列 \（ A_n = \sum_{k=1}^{n} 10^{-k^2} \），这是一个柯西列，因为对于任意的 \（ \epsilon > 0 \），存在一个 \（ N \），使得当 \（ m, n > N \） 时，有 \（ |A_m - A_n| < \epsilon \）。然而，这个数列在有理数集 \（ \mathbb{Q} \） 上不收敛，因为它收敛到 \（ \frac{\pi^2}{6} \），而 \（ \frac{\pi^2}{6} \） 是一个无理数。

多项式空间中的柯西列

定义在多项式空间 \（ \{x_n（t）\} = \{1, 1+t, 1+t+\frac{1}{2}t^2, \ldots\} \） 的一个柯西列是收敛于 \（ e^x \） 的。然而，指数函数 \（ e^x \） 不在多项式空间中，因此这个多项式空间是不完备的。

距离空间中的不完备闭集

考虑开区间 \（ （0,1） \） 赋予欧氏距离 \（ d（x,y） = |x-y| \），则开区间 \（ （0,1） \） 是一个不完备的闭集。数列 \（ x_n = \frac{1}{n} \） 是一个柯西列，在 \（ （0,1） \） 中不收敛，因为它的极限是 0，但 0 不在开区间 \（ （0,1） \） 内。

自定义度量空间中的柯西列

在实数集 \（ \mathbb{R} \） 上赋予度量 \（ d（x,y） = |\arctan（x） - \arctan（y）| \），可以证明序列 \（ \{1,2,3,\ldots\} \） 是一个柯西列，但这个柯西列给人的直觉是发散的。尽管如此，这个空间可以通过添加 \（ \pm \infty \） 来完备化，从而使得这个序列收敛到 \（ +\infty \）。

这些例子表明，柯西列是否收敛不仅取决于其本身的性质，还取决于所定义的度量空间是否完备。在某些情况下，即使数列本身是收敛的，但如果它收敛到的点不在原空间中，那么这个数列在该空间中仍然被认为是不收敛的。